shift 作用素

最近、ここのサイトを良く見てます。

徒然なる数学な日々

管理人さんが履修中という事で、関数解析の話題が色々取り上げられています。解説はコメント等で色んな方がやっておられるので、私は問題でも。

問題
p 次数列空間 l^p とは、Σ|x(n)|^p < +∞ を満たす数列{x(n)}全体から空間である。ノルムを||x(n)|| = (Σ|x(n)|^p)^1/p で定めたとき、l^p はヒルベルト空間になる。この空間に対して、
S : (x(1), x(2), ......, x(n), .....)
→ (x(2), x(3), ........, x(n+1), ...)
なる作用素が定まる。
これを（左）shift 作用素と呼ぶ。
もちろん S は線形作用素である。
この時 ||S|| を求めよ。

関数空間にノルムを入れるとかいう話を普通に考えても、最初はさっぱりイメージできないのが普通だと思います。しかしこの手の問題を色々やると「ははあ、こういう風に長さを決めてるのか。うまくできてるなあ」というのがわかってくると思います。