開区間と閉区間

高校で数学を履修した人で、開区間と閉区間を知らない人はいないと思います。そこで問題です。

開区間は何故開で、閉区間は何故閉なのか

一言で言うならば「極限演算で閉じているから閉」というのが理由です。

以下、上の説明で意味がわからんという人用の説明。例えば、 a(n) = (1/2)^n という実数列を考えてください。この数列の第 n 項 a(n) は任意の自然数 n に対して開区間 (0,1) に含まれます。しかし、 a(n) の極限値 0 は(0,1)に含まれません。一方で、閉区間 [0,1] には両方とも含まれます。

大雑把に言うと、無限まで持っていって仲間はずれになってしまう可能性があるかないかと言う事ですかね。一般的に、極限演算に対して閉じている集合の性質を完備と呼びます。新しい空間を作って微分を定義しようと思っても、そいつが完備でなかったらナンセンスな訳ですな( ﾟДﾟ)ｙ ー。実際、実解析、複素解析はあっても、有理解析はありません。有理数は完備じゃないですからね。

ココログベーシックでも「続きを読む」の機能がついたら便利なのですが、プラス/プロにグレードアップしないとこの機能がついてこないみたいです(-人-)。あんまりお金払いたくないので、しばらくはこれで我慢。

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