逆行列

昨日、仕事で行列を触る機会があって、その時に聞かれた事を問題にしてみました。即答できるでしょうか？

問：ガウスの消去法で逆行列を求める際に、列変形と行変形を同時にやってはいけない理由を説明せよ

線形代数は何がうれしいのか

この科目、単位を取るだけなら別にそう
難しくはありません。
・逆行列の出し方
・行列式の求め方
・対角化の方法（重根を持たない場合）
だけできていれば、何とかなります。

ですが、それでは肝心な部分は何もわかった
ことにならないので、少し解説をしてみたいと
思います。

実数から実数への関数を何か考えて下さい。
標語的に書くと、 f: R → R ですね。
この関数 f は無限個の要素を、無限個の要素に
対応させている訳です。
なので、一般的にはこの関数 f の形を決定するのは
実は非常に困難なのです。

命題の形にすると
＊実数 R から有限個の値 a1,....., an を取得して
その行き先 f(a1) ,......., f(an) をどう定めても、
その条件を満たす関数 f は無数に存在する。

という主張が言えるという事です。
まあ、グラフで考えたら当たり前の話ですね。

ですが、「この関数 f が線形写像である」という
条件が付くだけで、状況は一変します。

この場合、何と「１つの値 a の行き先 f(a) がどうなるか」
さえわかれば、それだけで f の形が決定してしまう
のです。（ a=0 の場合は除きます）
これも、グラフで考えれば当たり前の話ですが、
今の話を視覚化できない所まで一般化できるのが
数学の恐るべき所です。

つまり、かなり大雑把に言うと
線形代数が適用できる範囲では、
無限集合から無限集合への写像の仕組みを
有限個の要素の動きを見るだけで確定
させることができるわけです。

個人的には、これが線形代数をやる上での
一番大切な考え方ではないかと思っています。