不等式

俺　＜　絶叫マシン　≦　彼女　＜　ゴキブリ

半順序集合でないのが救い．

共役関数と双対性

だいぶ前から不思議に思っていた「共役関数に関する双対性」にやっと具体的なイメージが沸いた．

数学的にきちんとした話をしたい訳ではないので，厳密な話はここでは取り扱わない．興味のある方は，共役関数やFenchel 双対性などで調べるべし．

感覚的に理解するために，（突然だが）次の二つの空間を考える．
A:生徒空間
B:基準空間
A は生徒全体から成る空間である．一方 B は「生徒を選別するような基準」を点（元）とするような空間である．

[普通のとらえ方]
基準を一つ決めれば生徒空間を二分割できる．なぜなら「生徒がその基準を満たすか否か」という選別が可能だからである．即ち，次の対応関係が成立する．
生徒空間での直線⇔基準空間での点

※何で二分割するのが直線だけやねん，とかいう突っ込みはもっともだがここでは無視．

[双対的なとらえ方]
生徒を一人決めれば基準空間を二分割できる．なぜなら「その生徒が満たす基準か否か」という選別が可能だからである．即ち，次の対応関係が成立する．
生徒空間での点⇔基準空間での直線

この意味で生徒空間と基準空間は双対的である．

これはまた，空間における領域に二つの決め方があることを暗示している．つまり，

[ボトムアップ的な決め方]
領域はその領域に含まれる点全体から成る

[トップダウン的な決め方]
領域は「空間を分断する直線の組」から成る

※凸領域じゃないと駄目でしょう，とかいう突っ込みももっともだがここでは無視．

そして，一つの空間でボトムアップ的な決め方をしている時は，もう一方の空間ではトップダウン的な決め方をしている事になる．もちろん逆も真．

やっとすっきり解決した．めでたい．

Matrix Completion Problem

日本語に訳すと「行列補完問題」とでも言うのかな？仕事の関係でこの種の文献をいくつかあたる必要がありました．

どういう問題なのか大雑把に説明すると，

１．行列の成分のうちいくつかは値が判明している
２．行列は一定の性質Aを持つ
３．上記の性質Aを満たすように残りの成分を構成的に定める

２番目の性質Ａによってさらに細かい問題種別に分けることができます．大事なのはむしろ３番目で，「性質Aを満たすように残りの成分が有すべき必要十分条件を求める」ではなく「性質Aを満たす具体例を手っ取り早く構成する方法は無いのか」という点が問題となってきます．

この分野を勉強する過程で，対称行列の変形とグラフ理論の間に結構関係がある事を知りました．具体的には行（＝列）と同じ数だけの頂点を用意し，成分が 0 か非 0 かを辺の有無で表現するのですが，このグラフの性質から「上手く変形できるかどうか」を判定することができます．

これは最初に考えた人は偉いなあと思いました．

最適化

最近仕事の関係上，この分野の本を色々読む必要性が出てきているのですが，意外に読みやすいです．なんでかなと理由を考えてみたのですが，多分数学の本と比べると「つまり何をやりたいのか」ということがはっきりしてるからだろうなと思いました．

大体においてまともな数学の本だと「結局あんたは何がいいたいのか？」という所を補足するのに結構な時間がかかってしまいますが，最適化の分野だとそういう所にかかる時間が少ない気がしますね．

ただ，目的を探るまでを第一ラウンドとするならば，議論の細部を詰めていく第二ラウンドも当然あるわけで，こっちに関しては最適化の分野もそう簡単ではないです．特にネックとなるのが，大規模問題の取り扱い．どちらかというと実例をいじくり回すタイプの私としては，「このアルゴリズムは大規模問題に対してうまくいく」という説明を具体的に納得するのが難しい．いちいち全部プログラム書く訳にもいかんし，手計算で確認できるのは小規模な例だけです（まあ，そのためのアルゴリズムですからね）．この辺は結構普遍的な問題ですな．

数学の勉強

大学以上の数学の習得には、とにかく時間がかかると言われている。私もその主張に基本的に同感である。実際、今私が使いこなせる数学としては、それなりの時間をかけて習得したものしか残っておらず、適当に勉強したものはかなり頭の中から抜けている。

現在数学の研究者になっている方々は、基本的にある時期から朝から晩まで一日中数学をやるようになった人たちであることは疑いない。そういう人が主張する勉強方法が「一日中数学に浸かる」という方法であることは、ある意味当然だと言える。

しかしながら、（こういうことを言うと、数学屋さんには怒られるかもしれないが）「ある程度の時間をかけて、ある程度の数学を取得する方法論」みたいなものがあって良いと思う。社会人になってみて思ったが、理系の人間でも、大学教養程度の数学をきちんと使いこなせる人はまれである。いろいろ意見はあるだろうが、私見を言わせて頂くと、はっきり言って教養課程の数学は難しい（別に専門が簡単だと言っている訳ではない）。特に片手間で数学をやる人間にとっては習得は大変だと思う。一方で、数学科の連中のように、絶えず数学をする人間なら、（何度も目にすることになるので）いつの間にか自然に習得できる。

別に「毎日三分の学習で大学数学が理解できる本」とか、そういう主張をするつもりではない。ただ、それなりに数学に触れる人（適当だが、週に２０時間程度）がそれなりの数学を習得する方法論があってよいだろうと思う。

微分

高校数学と大学数学で、言葉の意味する所が違う為に混乱するというのはよくあるケースだろう。私が思うに、微分というのは、その最たるものの１つである。

実は（改めて実はと言う程のものでもないが）、「微分する」という言葉には二つの意味がある。ひとつは「局所線形近似する」という意味で、もう１つは「導関数を求める」という意味である。困ったことに、高校で取り扱う関数は大半が入力も出力も一次元のケースなので、両者の差がぼやけて見える。導関数が１つしかなく、それを求めることがそのまま局所線形近似（つまり接線）につながるからだ。

私は最初ここがわかっていなくて、全微分というのが何なのかさっぱりわからなかった。意外に私と同じ経験持ってる人いるんじゃないかなあ。

緩和法

緩和法という言葉をご存知でしょうか？

理学部数学科の方にはあまりなじみの無い単語かもしれませんが、最適化の分野では頻繁に使われる手法です。まあ、（ある意味）手法と言えるほどのたいしたものでもなく、極論すれば単に条件を緩めた問題を解いているだけです。

条件を緩めた問題を解いて何がうれしいのかと言うと、得られた答えが本来の問題の解の下界値となるからです（勿論最小化問題の場合です）。

？という人の為にもう少し補足。例えば、条件A、B、C以下でのある関数の最小値を求める問題があったとします。そして、この条件Cというのが非常に厄介で、手も足も出ないような条件だったとしましょう。この場合、条件A、Bの範囲では最小値を求めることができます。ここで得られた最小値は本来求めたい最小値ではないものの、本来求めたい最小値より小さい値である事は明らかです。最小値自体の値に興味がある場合などは、こんなものを求めても役には立ちませんが、例えば「一定予算以内に収まるかどうか」という場合であれば、この手の手法を十分活用できます。何故なら、「条件を緩めた最小値が予算を上回る」のであれば、「本来の最小値が予算内に収まる訳が無い」と言えるからです。

結局やってることは、受験数学等でおなじみの「必要条件から答えを絞り込む」というのと殆ど同じなんですが、意外に応用範囲が広いです。

数学と理科

突然ですが、皆様数学と理科の違いをご存知でしょうか。

何々？数学は数学現象を取り扱い、理科は自然現象を取り扱う？まあ、それも間違ってはいませんが、私が言いたいのはそういう事ではありません。

実は、学問としての性質上、数学は演繹的で、理科は帰納的なのです。もう少し噛み砕いて言うと、「数学で一番偉いのは公理であり、理科で一番偉いのは実験結果である」とも言えるでしょう。例えば、数学の問題を解いているときに何か公理に違反する現象が出てくるようなら、それはその現象の導出過程に必ず何かしらの問題があります。一方理科では、実験結果で法則と異なった現象が見られても、直ちにその現象に問題があると結論づける事はできません。何故なら、数学とは違って法則自体が間違っているという可能性があるからです。あくまで理科の法則とは実験結果から演繹的に導き出されるものだからでしょう。

私が上記の事に気がついたのは、実は高校生の終わりぐらいでした。ですので、それまでは「何でわかっている事をわざわざ実験するんだ、あほらしい」てな事を考えておりました。浅はかでしたね。

意外に、この辺の話に気づいていない中学生・高校生はいると思うので、（特に理科の教師は）この辺の話を一度はきちんとするべきではないかなあと。

定理と証明

良く見に行くブログでこういうテーマが扱われていた。

定理の証明は覚えるべきか

私の結論を述べる前に、そもそも数学における定理とはどういうものか考えてみたい。

まず、「定理」がないと何が困るのか。仮にここに全知全能の神様がいたとする。神様は定理などなくても何も困らない。何故なら、神様には全てが明らかであるからだ。つまり、「定理」というのは、その主張を明らかと思えない人がいて、はじめて意味があるものである。

では明らかでないが成り立つ事柄は何でも「定理」とすればよいのかと言えば、それもまたおかしな話である。もしそんなことが成り立てば、世の中の数学の証明問題はほぼ全部定理という事になりかねない。よく使われる事実であるからこそ「定理」という汎用性の高い形でまとめる意味がある。

要は、「一見成立が明らかでなく」かつ「使用頻度が高い」ものが数学の定理として然るべきであると私は考えている。

前置きが長くなったが、「証明」という作業は「一見成立が明らかでない」ものを「明らかに成立する」ものに言い換える役割を果たしている。従って、「元々明らかな主張の証明」あるいは「読んでも理解できない証明」には意味がない。

「証明」を読む上で大切なのは、「不思議なこと」がどこでどう「明らかなこと」に変わったのかを意識すること、であると私は思う。論理を追うのは実は大して重要ではない。「不思議なこと」が「明らかなこと」に変わるためには、どこかに以前の自分では気づかなかった何か（当然これには個人差がある）があるはずで、証明を辿る中でそれを突き止めることこそが重要である。

なんか偉そうな文章になってしまいましたが・・・。まあいいか（＾＾）

地獄のカリキュラム

独立行政法人化がなされた現在では、だいぶマシになったようであるが、京大理学部数学系の３回生前期の講義内容には、正直ぶったまげた。

私が３回生当時の講義は「ホモロジー論」「環論と体論」「積分論」の３つで、全て二コマ分の授業時間を使う。（後、微分方程式も確かあったような）加えてそれぞれの授業に相当する演習があり、これがまた二コマ分であった。

ホモロジー論では、単体複体のホモロジー及びコホモロジーを取り扱い（コホモロジーに関しては最後まではいかなかったが）、環論と体論では、環上の加群及びガロア理論等の体論を学ぶ。また、「積分論」ではルベーグ積分を取り扱う。

はっきり言って普通の人間なら、一日中数学をやっていても対処不能である。実際この時期、私からみて（抜群に出来るというわけではないが）それなりに優秀だった人間が、最前線から次々と脱落した。

大体２回生時に多様体をやらせる時点で間違ってると思うのだが・・・。

結果として、私は３回生時に幾何と解析を捨てた。後で解析に関してはある程度勉強し直したが、幾何は今でもよくわからない部分が多い。別に幾何や解析が嫌いだった訳ではなく、「気がついたら代数しかわからなくなっていた」というのが事実だ。

しかし、私が何より驚いたのは、当時２回生であったにもかかわらず全ての演習に出席し、難問を解きまくっていた人物がいたことだ（聞くところによると、数学だけでなく物理の演習でも同様だったらしい・・・）。また、彼の話は今後取り上げたいと思う。